الانعكاس فى مستقيم :-
إذا كان ل عمودى على أ أ / من منتصفها فإن
أ/ هى صورة أ بالانعكاس فى المستقيم ل
االانعكاس فى محورى الأحداثيات :-
صورة النقطة ( س ، ص) بالانعكاس فى محور السينات هى ( س ، - ص)
صورة النقطة ( س ، ص) بالانعكاس فى محور الصادات هى ( - س ، ص)
فمثلا
- صورة النقطة (2 ، 3) بالانعكاس فى محور السينات هى ( 2 ، -3)
- صورة النقطة (2 ، 3) بالانعكاس فى محور الصادات هى ( -2 ، 3)
الانعكاس فى نقطة الاصل :-
صورة النقطة ( س ، ص ) بالانعكاس فى نقطة الاصل هى ( - س ، - ص)
فمثلا صورة النقطة ( 3 ، 4) بالانعكاس فى نقطة الاصل هى ( -3 ، -4)
ملاحظة هامة :-
إذا كانت أ تقع على المستقيم ل فإن صورتها بالاتعكاس فى ل هى نفسها أ
فمثلا النقطة ( س ، 0 ) تقع على محور السينات فتكون صورتها بالانعكاس
فى محور السينات هى نفسها
فمثلا صورة النقطة (3 ، 0 ) بالانعكاس فى محور السينات هى ( 3 ، 0)
- النقطة ( 0 ، ص ) تقع على محور الصادات ولهذا فإن صورتها بالانعكاس فى محور الصادات هى نفسها
فمثلا صورة النقطة ( 0 ، 3 ) بالانعكاس فى محور الصادات هى ( 0 ، 3 )
س أكمل الجدول الآتى :-
النقطة بالانعكاس فى محور السينات بالانعكاس فى محور الصادات بالانعكاس فى نقطة الاصل
(3 ، 4)
(5 ، 7)
( 4 ، 2 )
( 6 ، 3)
(-4 ، 1)
(-3 ، 7)
(-2 ، 9)
(-4 ، 6)
(2 ، -5)
( 3 ، -5)
( 5 ، -8 )
( 4 ، -
(-6 ، -9)
(-7 ، -5 )
(-1 ، -2)
( -3 ، - 10)
( 0 ، 4 )
أ ب جـ مثلث فيه أ = ( 5 ، 4) ، ب = (3 ، 1) ، جـ = ( 1 ، 1 ) أوجد
(1) صورة أ ب جـ بالانعكاس فى محور السينات
(2) صورة أ ب جـ بالانعكاس فى محور الصادات
(3) صورة أ ب جـ بالانعكاس فى نقطة الاصل الحــــــــــــــــــــــــــــل
(1) صورة أ ب جـ بالانعكاس فى محور السينات
صورة أ بالانعكاس فى محور السينات هى أ/ = ( 5 ، -4)
صورة ب بالانعكاس فى محور السينات هى ب/ = ( 3 ، -1)
صورة جـ بالانعكاس فى محور السينات هى جـ / = ( 1 ، -1 )
فيكون أ/ ب/ جـ/ هى صورة أ بالانعكاس فى محور السينات
(2) صورة أ ب جـ بالانعكاس فى محور الصادات
صورة أ بالانعكاس فى محور الصادات هى أ// = ( -5 ،4)
صورة ب بالانعكاس فى محور الصادات هى ب/ = ( -3 ، 1)
صورة جـ بالانعكاس فى محور الصادات هى جـ // = ( -1 ، 1 )
فيكون أ// ب// جـ// هى صورة أ ب جـ بالانعكاس فى محور الصادات
(3) صورة أ ب جـ بالانعكاس فى نقطة الاصل
صورة أ بالانعكاس فى نقطة الاصل هى أ/// = ( -5 ، -4)
صورة ب بالانعكاس فى نقطة الاصل هى ب/// = (-3 ، -1)
صورة جـ بالانعكاس فى نقطة الاصل هى جـ /// = (-1 ، -1 )
فيكون أ/// ب/// جـ/// هو صورة أ ب جـ بالانعكاس فى نقطة الاصل
أنظر الرسم البيانى المُجمع
تدريب إذا كانت أ = ( 4 ، 4 ) ، ب = ( 4 ، 1 ) ، جـ = ( 1 ، 1 ) أوجد
(1) صورة أ ب جـ بالانعكاس فى محور السينات
(1) صورة أ ب جـ بالانعكاس فى محور الصادات
(1) صورة أ ب جـ بالانعكاس فى نقطة الاصل
مثل على شبكة تربيعية متوازى الاضلاع أ ب جـ ء حيث
أ = ( 6 ، 6 ) ، ب ( 4 ، 2 ) ، جـ = ( 1 ، 2 ) ، ء = ( 3 ، 6) ثم أوجد
(1) صورته بالانعكاس فى محور السينات
(2) صورته بالانعكاس فى محور الصادات
(3) صورته بالانعكاس فى نقطة الاصل
الحــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
تدريب إذا كانت أ = ( 5 ، 4 ) ، ب = ( 4 ، 1 ) ، جـ = ( 1 ، 0 ) أوجد
(1) صورة أ ب جـ بالانعكاس فى محورالصادات الحــــــــــــــــــــــــــــل
صورة أ بالانعكاس فى محور الصادات هى أ/ = ( ....... ، ......)
صورة ب بالانعكاس فى محور الصادات هى ب / = ( ....... ، ......)
صورة جـ بالانعكاس فى محور الصادات هى جـ / = ( ....... ، ......)
(2) صورة أ ب جـ بالانعكاس فى محور السينات
صورة أ بالانعكاس فى محور السينات هى أ// = ( ....... ، ......)
صورة ب بالانعكاس فى محور السينات هى ب // = ( ....... ، ......)
صورة جـ بالانعكاس فى محور السينات هى جـ // = ( ....... ، ......)
(3) صورة أ ب جـ بالانعكاس فى نقطة الاصل
صورة أ بالانعكاس فى نقطة الاصل هى أ/ = ( ....... ، ......)
صورة ب بالانعكاس فى نقطة الاصل هى ب / = ( ....... ، ......)
صورة جـ بالانعكاس فى نقطة الاصل ه
ى جـ / = ( ....... ، ......)
تعريف هام محور التماثل :-
هو مستقيم يجعل صورة الشكل
بالانعكاس فيه هو الشكل نفسه وهو
يقسم الشكل إلى شكلين متطابقين
تدريب إذا كانت أ = ( 0 ، 4 ) ، ب = ( 3 ، 2 ) ، جـ = ( -3 ، 2 ) أوجد
(1) صورة أ ب جـ بالانعكاس فى محورالصادات الحــــــــــــــــــــــــــــل
صورة أ بالانعكاس فى محور الصادات هى أ/ = ( ....... ، ......)
صورة ب بالانعكاس فى محور الصادات هى ب / = ( ....... ، ......)
صورة جـ بالانعكاس فى محور الصادات هى جـ / = ( ....... ، ......)
(2) صورة أ ب جـ بالانعكاس فى محور السينات
صورة أ بالانعكاس فى محور السينات هى أ// = ( ....... ، ......)
صورة ب بالانعكاس فى محور السينات هى ب // = ( ....... ، ......)
صورة جـ بالانعكاس فى محور السينات هى جـ // = ( ....... ، ......)
(3) صورة أ ب جـ بالانعكاس فى نقطة الاصل
صورة أ بالانعكاس فى نقطة الاصل هى أ/ = ( ....... ، ......)
صورة ب بالانعكاس فى نقطة الاصل هى ب / = ( ....... ، ......)
صورة جـ بالانعكاس فى نقطة الاصل هى جـ / = ( ....... ، ......)
الواجب إذا كانت أ = ( 2 ، 5 ) ، ب = ( -2 ، 5 ) ، جـ = ( 0 ، 0 ) أوجد
(1) صورة أ ب جـ بالانعكاس فى محورالصادات
الحــــــــــــــــــــــــــــل
صورة أ بالانعكاس فى محور الصادات هى أ/ = ( ....... ، ......)
صورة ب بالانعكاس فى محور الصادات هى ب / = ( ....... ، ......)
صورة جـ بالانعكاس فى محور الصادات هى جـ / = ( ....... ، ......)
(2) صورة أ ب جـ بالانعكاس فى محور السينات
صورة أ بالانعكاس فى محور السينات هى أ// = ( ....... ، ......)
صورة ب بالانعكاس فى محور السينات هى ب // = ( ....... ، ......)
صورة جـ بالانعكاس فى محور السينات هى جـ // = ( ....... ، ......)
(3) صورة أ ب جـ بالانعكاس فى نقطة الاصل
صورة أ بالانعكاس فى نقطة الاصل هى أ/ = ( ....... ، ......)
صورة ب بالانعكاس فى نقطة الاصل هى ب / = ( ....... ، ......)
صورة جـ بالانعكاس فى نقطة الاصل هى جـ / = ( ....... ، ......)
صورة النقطة ( س ، ص ) بالانتقال ( م ، ن ) = ( س + م ، ص + ن )
الصورة = النقطة + الانتقال
النقطة = الصورة – الانتقال
الانتقال = الصورة – النقطة
============================
أوجد صورة كلا من النقط الاتية بأنتقال ( -2 ، 3 )
(1) أ = (3 ، -1 ) (2) ب = (4 ، 2) (3) جـ = (-1 ، 1 )
الحـــــــــــــــــــــل
صوة النقطة أ = ( 3 ، -1 ) + ( -2 ، 3 ) = ( 1 ، 2 )
صوة النقطة ب = ( 4 ، 2 ) + ( -2 ، 3 ) = ( 2 ، 5 )
صوة النقطة جـ = ( -1 ، 1 ) + ( -2 ، 3 ) = ( -3 ، 4 )
بأستخدام الأنتقال الذى يحول النقطة (س ، ص) إلى
(س+1،ص-2) أوجد
(1) صورة النقطة ( 3 ، 4) (2) النقطة التى صورتها ( 3 ، 4)
الحــــــــــــــــــــــــل
الأنتقال = ( 1 ، -2 )
الصورة = النقطة + الأنتقال = (3 ، 4) + (1 ، -2) = (4 ، 2 )
النقطة = الصورة – الأنتقال = (3 ، 4) – (1 ، -2) = ( 2 ، 6 )
إذا كانت أ = ( -1 ، 2 ) ، ب = ( 3 ، 5 ) أوجد صورة النقطة
( 2 ، 5 ) بالانتقال الذى مقدار أ ب وفى أتجاه أ ب
الحـــــــــــــــــل
الانتقال = ب – أ = ( 3 ، 5 ) – ( -1 ، 2 ) = ( 4 ، 3 )
صورة النقطة (2 ، 5 ) = ( 2 ، 5 ) + ( 4 ، 3) = ( 6 ، 8 )
النقطة الانتقال الصورة
(2 ، 3 ) (3 ، 5) ................
............... (2 ، 4) ( -1 ، 3)
(3 ، 5) ............... ( 2 ، 3)
(2 ، 4 ) (0 ، 5) ................
............... (2 ، 1) ( -1 ، -4)
(3 ، 0) ............... ( 5 ، 3)
(0 ، 3 ) (3 ، 4) ................
............... (2 ، 1) ( -3 ، 3)
(3 ، 2) ............... ( 0 ، 3)
(2 ، -1 ) (3 ، 2) ................
............... (2 ، -3) ( -1 ، 2)
(-1 ، -2) ............... ( 2 ، -4)
(2 ، -1 ) (-2 ، 5) ................
............... (2 ، 3) ( -1 ، -5)
الدوران هو تحويلة هندسية تتحدد بـ
(1) مركز الدوران (2) قياس زاوية الدوران
صورةالنقطة ( س ، ص )
خلى بالك
الدوران بزاوية قياسها ( -90 ْ ) يكافئ دوران بزاوية 270 ْ
الدوران بزاوية قياسها ( - 180 ْ ) يكافئ دوران بزاوية قياسها 180 ْ
الدوران بزاوية قياسها ( - 270 ْ ) يكافئ دوران بزاوية قياسها 90 ْ
الدوران بزاوية 180 ْ يسمى دوران نصف دورة
الدوران بزاوية 360 ْ يسمى دوران دورة كاملة ويسمى أيضاً الدوران المحايد
خواص الدوران يحافظ على
(1) البعد بين النقط (2) قياسات الزوايا (3) التوازى (4) البينية (5) أستقامة النقط
(6) الاتجاه الدورانى لترتيب رؤوس الشكل
النقطة بالدوران
90 بالدوران 180 بالدوران 270 بالدوران 360
(2 ، 3 ) ............ ............ ............ ............
............ ( 3 ، 4 ) ............ ............ ............
............ ............ ( 5 ، 2) ............ ............
............ ............ ............ ( 4 ، 6 ) ............
............ ............ ............ ............ ( 5 ، 7 )
(-2 ، 5 ) ............ ............ ............ ............
............ ( -3 ، 4 ) ............ ............ ............
............ ............ ( -1 ، 3) ............ ............
............ ............ ............ ( -5 ، 2 ) ............
............ ............ ............ ............ ( -4 ، 2 )
(2 ، -4 ) ............ ............ ............ ............
............ ( 3 ، -2 ) ............ ............ ............
............ ............ ( 5 ، -1) ............ ............
............ ............ ............ ( 4 ، -3 ) ............
............ ............ ............ ............ ( 5 ، -4 )
(-2 ، -4 ) ............ ............ ............ ............
............ ( -3 ، -6 ) ............ ............ ............
فى الشكل المقابل أكمل
(1) صورة أ س ص بالانتقال أ س وفى أتجاه أ س هو .................
(2) صورة أ س ص بالانتقال أ ص وفى أتجاه أ ص هو ...................
(3) صورة س ب ع بالانتقال ب ع وفى أتجاه ب ع هو ................
(4) صورة ص ع جـ بالانتقال جـ ع وفى أتجاه جـ ع هو ...............
(5) صورة س ب ع بالانتقال ب س وفى أتجاه ب س هو ...............
(6) صورة ص ع جـ بالانتقال جـ ص وفى أتجاه جـ ص هو ..............
(7) صورة أ س ص بالدوران حول س بزاوية قياسها 60 ْ هو ...........
(
صورة أ س ص بالدوران حول س بزاوية قياسها 120 ْ هو .........(9) صورة أ س ص بالدوران حول ص بزاوية قياسها -60 ْ هو ............
(10) صورة أ س ص بالدوران حول س بزاوية قياسها - 120 ْ هو
(11) صورة س ب ع بالدوران حول س بزاوية قياسها 60 ْْ هو .......................
(12) صورة س ب ع بالدوران حول س بزاوية قياسها 120 ْ هو ..............................
(13) صورة ص ع جـ بالدوران حول ص بزاوية قياسها -60 ْ هو ................................
(14) صورة ص ع جـ بالدوران حول س بزاوية قياسها - 120 ْ هو
حاول بنفسك إذا كانت أ = ( 5 ، 4 ) ، ب = ( 4 ، 1 ) ، جـ = ( 1 ، 1 ) أوجد
(1) صورة أ ب جـ بالدوران حول و بزاوية 90 ْ الحــــــــــــــــــــل
صورة أ بالدوران حول و بزاوية 90 هى أ/ = ( ....... ، ......)
صورة ب بالدوران حول و بزاوية 90هى ب / = ( ....... ، ......)
صورة جـ بالدوران حول و بزاوية 90هى جـ / = ( ....... ، ......)
(2) صورة أ ب جـ بالدوران حول و بزاوية 180
صورة أ بالدوران حول و بزاوية 180 هى أ// = ( ....... ، ......)
صورة ب بالدوران حول و بزاوية 180هى ب // = ( ....... ، ......)
صورة جـ بالدوران حول و بزاوية 180هى جـ // = ( ....... ، ......)
(3) صورة أ ب جـ بالدوران حول و بزاوية 270
صورة أ بالدوران حول و بزاوية 270 هى أ/ = ( ....... ، ......)
صورة ب بالدوران حول و بزاوية 270هى ب / = ( ....... ، ......)
صورة جـ بالدوران حول و بزاوية 270هى جـ / = ( ....... ، ......)
تدريب إذا كانت أ = ( 5 ، 4 ) ، ب = ( 5 ، 2) ، جـ = ( 1 ، 2 ) أوجد
(1) صورة أ ب جـ بالدوران حول و بزاوية 90 ْ الحــــــــــــــــــــــــــــل
صورة أ بالدوران حول و بزاوية 90 هى أ/ = ( ....... ، ......)
صورة ب بالدوران حول و بزاوية 90هى ب / = ( ....... ، ......)
صورة جـ بالدوران حول و بزاوية 90هى جـ / = ( ....... ، ......)
(2) صورة أ ب جـ بالدوران حول و بزاوية 180
صورة أ بالدوران حول و بزاوية 180 هى أ// = ( ....... ، ......)
صورة ب بالدوران حول و بزاوية 180هى ب // = ( ....... ، ......)
صورة جـ بالدوران حول و بزاوية 180هى جـ // = ( ....... ، ......)
(3) صورة أ ب جـ بالدوران حول و بزاوية 270
صورة أ بالدوران حول و بزاوية 270 هى أ/ = ( ....... ، ......)
صورة ب بالدوران حول و بزاوية 270هى ب / = ( ....... ، ......)
صورة جـ بالدوران حول و بزاوية 270هى جـ / = ( ....... ، ......)
الواجب إذا كانت أ = ( 6، 4 ) ، ب = ( 4 ، 1 ) ، جـ = ( 1 ، 0 ) أوجد
(1) صورة أ ب جـ بالدوران حول و بزاوية 90 ْ الحـــــــــــــــل
صورة أ بالدوران حول و بزاوية 90 هى أ/ = ( ....... ، ......)
صورة ب بالدوران حول و بزاوية 90هى ب / = ( ....... ، ......)
صورة جـ بالدوران حول و بزاوية 90هى جـ / = ( ....... ، ......)
(2) صورة أ ب جـ بالدوران حول و بزاوية 180
صورة أ بالدوران حول و بزاوية 180 هى أ// = ( ....... ، ......)
صورة ب بالدوران حول و بزاوية 180هى ب // = ( ....... ، ......)
صورة جـ بالدوران حول و بزاوية 180هى جـ // = ( ....... ، ......)
(3) صورة أ ب جـ بالدوران حول و بزاوية 270
صورة أ بالدوران حول
و بزاوية 270 هى أ/ = ( ....... ، ......)
صورة ب بالدوران حول
و بزاوية 270هى ب / = ( ....... ، ......)
صورة جـ بالدوران حول
و بزاوية 270هى جـ / = ( ....... ، ......)
تعريف التطابق :-
يقال لمضلعين م1 ، م2 أنهما متطابقان إذا تحقق الشرطان معاً
1-قياسات الزوايا المتناظرة متساوية 2- أطوال أضلاع المتناظرة متساوية ويكتب م1 ≡ م2
تعريف التشابه :-
يقال لمضلعين م1 ، م2 أنهما متشابهان إذا تحقق الشرطان معاً
1- قياسات الزوايا المتناظرة متساوية 2- أطوال أضلاع المتناظرة متناسبة ويكتب م1 ~ م2
ملاحظات هامة :-
(1) لاثبات تشابه مثلثين يكتفى فقط بأثبات تحقق أحد الشرطين
1- قياسات الزوايا المتناظرة متساوية 2- أطوال أضلاع المتناظرة متناسبة
(2) يجب ترتيب رؤوس المضلعين المتشابهين على حسب تساوى قياسات الزوايا
فمثلا إذا كان
ق( أ ) = ق ( س ) ، ق ( ب) = ق( ص ) ، ق (جـ) = ق ( ع ) فإنه يقال أن
أ ب جـ ~ س ص ع أو أ جـ ب ~ س ع ص أو ب جـ أ ~ ص ع س وهكذا
(3) إذا كان أ ب جـ ~ س ص ع فإن
* ق( أ ) = ق ( س ) ، ق ( ب) = ق( ص ) ، ق (جـ) = ق ( ع )
* ــــــــــــ = ــــــــــــ = ـــــــــــــ
(4) المضلعان المشابهان لثالث يكونان متشابهان
إذا كان م1 ~ م3 ، م2 ~ م3 فإن م1 ~ م2
(5) المضلعان المتطابقان متشابهان والعكس غير صحيح
(6) أى مضلعين منتظمين ( لهما نفس العدد من الاضلاع ) متشابهان
المضلع المنتظم : هو مضلع جميع أضلاعه متساوية فى الطول وزواياه متساوية فى القياس مثل المثلث المتساوى الاضلاع والمربع والخماسى المنتظم والسداسى المنتظم وهكذا
• جميع المثلثات المتساوية الاضلاع متشابهة
• جميع المربعات متشابهة
• جميع الخماسيات المنتظمة متشابهة
• جميع السداسيات المنتظمة متشابهة
فى الشكل المقابل إذا كان أ س ص ~ أ جـ ب
أوجد طول س ب ، س ص الحـــــــــــــــــل
أ س ص ~ أ جـ ب
ــــــــــــ = ـــــــــــ = ــــــــــ = ـــــ = ـــــــــــــ = ـــــــــ
س ص = = 6سم ،، أ ب = = 10 سم :. س ب =6سم
فى الشكل المقابل إذا كان ب س ص ~ ب جـ أ
أوجد طول أ س ، ،، ص جـ الحـــــــــــــــــل
ب س ص ~ ب جـ أ
ــــــــــــ = ـــــــــــ = ــــــــــ = ــــــــــــ = ـــــــ = ـــــــــ
ب جـ = = 15 سم أ ب = = 12 سم
ص جـ = 15 – 4 = 11 سم أ س = 12 – 5 = 7 سم
فى الشكل المقابل إذا كان جـ س ص ~ جـ ب أ
أوجد طول س ب الحـــــــــــــــــل
جـ س ص ~ جـ ب س
ــــــــــــ = ـــــــــــ = ــــــــــ = ـــــ = ـــــــــــــ = ـــــــــ
س ص = = 8 سم
فى الشكل المقابل ق ( أ ء هـ ) = ق ( جـ ) إثبت أن أ ء هـ ~ أ جـ ب
أوجد طول ء ب ، هـ جـ الحـــــــــــــــــــــل
أ ء هـ ، أ ب جـ
ـــــــــ = ـــــــ = ـــــــــــ
فيهما
أ جـ = = 10سم
هـ جـ = 10 – 6 = 4سم
أ ء هـ ~ أ جـ ب أ ب = = 12سم
= ـــــــ = ـــــــــــ=------------- ء ب = 12 – 5 = 7 سم
فى الشكل المقابل أ ب جـ ~ ء هـ و
أوجد قيمتى س ، ص الحـــــــــــــــــــــــــــــــل
أ ب جـ ~ ء هـ و
س = = 8 سم
ـــــــــــ = ـــــــــــــ = ـــــــــــ
ص = = 6 سم
ـــــــــــ = ـــــــــــــ = ـــــــــــ
س أكمل العبارات الاتية
1- المضلعان المشابهان لثالث يكونان ..............
2- المضلعان المتطابقان يكونان ..............
3- أى مضلعين ................. لهما نفس العدد من ............ متشابهان
4- إذا كانت نسبة التكبير = 1 فإن المضلعان يكونان ..............
5- مثلث قياس زاويتين فيه 70 ْ ، 50 ْ ومثلث أخر قياس زاويتين فيه 70 ْ
، 60 ْ فإنهما يكونان ..........................
6- ................ المثلثات المتساوية الاضلاع تكون متشابهة
7- ................ المربعات متطابقة
8- ................ المستطيلات متطابقة
9- شروط تطابق مضلعين هى
- ......................................و....................................................
10- شروط تشابه مضلعين هى
- ............................................و..............................................
11- إذا كان المضلعان متطابقان فإن نسبة التكبير = ............
12- مثلثان متشابهان أطوال أضلاع أحدهما 3 سم ، 5 سم ، 7سم .... ومحيط المثلث الاخر = 30 سم
فإن أطوال أضلاع المثلث الاخر هى ........... سم ، .......... سم ، ............ سم
13- إذا كان س ص ع ~ ء هـ و بحيث كان ق (س) = 50 ْ
، ق ( هـ ) = 60 ْ فإن
(1) ق ( ء ) = .......... ، ق ( ص ) = ........... ، ق ( ع ) = ........... ، ق ( و ) = ...........
[ 2 ]فى الشكل المقابل
إذا كان أ س ص ~ أ جـ ب أوجد طول س ب ، س ص
[ 3سم – 6 سم ]
[ 3 ] فى الشكل المقابل
إذا كان
ب و هـ ~ ب أ جـ
أوجد طول
و هـ ، و جـ
[ 5 سم – 17 سم ]
[5] فى الشكل المقابل
إذا كان ء هـ // ب جـ أثبت أن
أ ء هـ ~ أ ب جـ
المساحات
المنطقة المستوية :-
يقسم المضلع المستوى المرسوم فيه إلي ثلاث مجموعات من النقط
- مجموعة نقط المضلع وهي المضلع 0
- مجموعة النقط داخل المضلع وتسمي داخل المضلع 0
- مجموعة النقط خارج المضلع وتسمي خارج المضلع
وحدة قياس المساحة :-
هي مساحة سطح مربع طول ضلعه وحدة قياس الأطوال
0
تعتمد دراستنا التالية في مساحة المضلعات علي المسلمات الآتية :
- مساحة المضلع هي عدد موجب (وحيد) 0
- مساحة مستطيل بعداه ل ، ع من وحدات الأطوال تساوي ل ع
وحدة مربعة وقد سبق لك دراسة ذلك في المرحلة الابتدائية 0
أ ب // جـ ء ، أ ب جـ ء ، أ ب هـ و متوازيا أضلاع مرسومان
على القاعدة أ ب
مـ أ ب جـ ء = مـ أ ب هـ و
أ ء و ، ب جـ هـ
ق( 1 ) = ق ( 2 ) بالتناظر
ق( 3 ) = ق ( 4 ) بالتناظر
ق( 5 ) = ق ( 6 )
أ ء و ، ب جـ هـ ب جـ = أ ء
فيهما ب هـ = أ و
ق( 5 ) = ق ( 6 )
أ ء و ≡ ب جـ هـ
مـ الشكل أ ب جـ و – مـ أ ء و = مـ الشكل أ ب جـ و – مـ ب جـ هـ
مساحة سطح أ ب جـ ء = مساحة سطح أ ب هـ و
مـساحة متوازى الاضلاع أ ب جـ ء = مساحة المستطيل هـ ب و ء
***********************************************
مـ أ ب جـ ء ل =
= مـ س ص ع
مـ م ن هـ و
مساحة هـ ب جـ = نصف مساحة متوازى الاضلاع أ ب جـ ء أ ه د
***********************************************
فى الشكل المقابل
إذا كان مساحة ء ب جـ = 15سم2
فان مساحة أ ب جـ ء = ............... سم2
=========================================
فى الشكل المقابل
إذا كان مساحة أ ب جـ ء
تساوى 20سم2 فان مساحة
أ ب جـ = .......... سم2
=====================================================
فى الشكل المقابل
إذا كان مساحة المستطيل و ب هـ ء
تساوى 30سم2 فان مساحة متوازى
الاضلاع أ ب جـ ء = ........... سم2
فى الشكل المقابل
إذا كان مساحة أ ب جـ ء = 50سم2
فان مساحة أ هـ ء = ............... سم2
فى الشكل المقابل
إذا كان مساحة متوازى الاضلاع
أ ب جـ ء = 15سم2 فان مساحة
المستطيل و ب هـ ء = ........... سم2
***********************************************
فى الشكل المقابل
أ ء // ب جـ ، ب جـ = 10سم
، ء هـ = 8سم أوجد مساحة أ ب جـ
أ ء // ب جـ أ و = ء هـ = 8سم
مساحة أ ب جـ = القاعدة × الارتفاع = × ب جـ × أ و = × 10 × 8 = 40سم2
=======================================
فى الشكل المقابل
أ ب جـ فيه ب جـ = 10سم أ هـ = 4سم ، ب ء = 8سم
أوجد مساحة أ ب جـ ، طول أ جـ الحــــــــــــــــــل
مساحة أ ب جـ = × ب جـ × أ هـ = × 10 × 4 = 20سم2
مساحة أ ب جـ = 20سم2
× أ جـ × ب ء = 20 سم2 4 أ جـ = 20
× أ جـ × 8 = 20 أ جـ = ـــــــــ = 5سم2
=====================================================
فى الشكل المقابل
أ ب جـ ء متوازى أضلاع فيه أ ب = 12سم ، ، ب جـ = 15سم
، ء هـ = 4سم أوجد مساحة متوازى الاضلاع أ ب جـ ء ، طول ء و
مساحة أ ب جـ ء = طول القاعدة × الارتفاع = ء هـ × ب جـ
= 4 × 15 = 60 سم2
مساحة أ ب جـ ء = 60سم2= ء و × أ ب = 60
ء و × 12 = 60 ء و = ـــــــ = 5سم
فى الشكل المقابل
أ ب جـ ء متوازى أضلاع فيه هـ و أ ب ، هـ و = 5سم
ء جـ = 6سم اوجد مساحة
متوازى الاضلاع أ ب جـ ء
أ ب جـ ء متوازى أضلاع ....,& أ ب = ء جـ = 6سم
مساحة أ ب جـ ء = أ ب × هـ و = 6 × 5 = 30 سم2
فى الشكل المقابل
أ ب جـ ء مربع محيطه 40سم هـ منتصف ب جـ أوجد
مساحة أ هـ جـ
محيط المربع = 40 هـ منتصف ب جـ = هـ جـ = 5سم
4 × طول ضلعه = 40 مساحة أ هـ جـ = × هـ جـ × أ ب
طول ضلعه = ـــــ = 10سم = × 5 × 10 = 25
فى الشكل المقابل أ ب جـ ء مربع مساحته 100سم2
س ، ص ، ع ، ل منتصفات أضلاعه
أوجد مساحة الشكل س ص ع ل
المعطيات:- أ ء // ب جـ ، المثلثان أ ب جـ ، ء ب جـ تشتركان فى القاعدة ب جـ
المطلوب :- مساحة أ ب جـ = مساحة ء ب جـ
العمل : - نرسم أ هـ ، ء و عموديين على ب جـ
البرهان : -
أ هـ // ء و لانهما عموديان على ب جـ
أ هـ = ء و الشكل أ هـ و ء مستطيل مساحة أ ب جـ = ب جـ × أ هـ
مساحة ء ب جـ = ب جـ × ء و مساحة أ ب جـ = مساحة ء ب جـ
إذا كان أ ء // ب جـ ، ب جـ = هـ و = س ع فان
مساحة أ ب جـ= مساحة ء هـ و
= مساحة س ص ع
فى الشكل المقابل إذا كان أ ء متوسط فى أ ب جـ
فان مساحة أ ب ء = مساحة أ ء جـ
==============================================
فى الشكل المقابل أ ء متوسط ف ى أ ب جـ
هـ أ ء إثبت أن
مساحة أ ب هـ = مساحة أ جـ هـ
أ ء متوسط فى أ ب جـ مساحة أ ب ء = مساحة أ ء جـ (1)
هـ أ ء أ هـ متوسط فى هـ ب جـ
مساحة هـ ب ء = مساحة هـ ء جـ (2)
بطرح 2 من 1
مـ أ ب ء – مـ هـ ب ء = مـ أ ء جـ - مـ هـ ء جـ
مـ أ ب هـ = مـ أ هـ جـ
فى الشكل المقابل س ل // ص ع. س ع ص ل = { م }
إثبت أن مساحة س م ص = مساحة ل م ع
س ل // ص ع مساحة س ص ع = مساحة ل ص ع
بطرح مساحة م ص ع من الطرفين
مـ س ص ع – مـ م ص ع = مـ ل ص ع – مـ م ص ع
مساحة س م ص = مساحة ل م ع
فى الشكل المقابل س منتصف أ ب ، ص منتصف أ جـ
إثبت أن مساحة أ ب ص = مساحة أ س جـ
س منتصف أ ب ، ص منتصف أ جـ س ص // ب جـ
مساحة ب س ص = مساحة جـ س ص
باضافة مساحة أ س ص الى الطرفين
مـ ب س ص + مـ أ س ص = مـ جـ س ص + مـ أ س ص
مـ أ ب ص = مـ أ س جـ
فى الشكل المقابل أ ء متوسط أ ب جـ //ء هـ متوسط أ ب ء
إثبت أن مساحة أ ء هـ = مساحة أ ب جـ
أ ء متوسط فى أ ب جـ =< مساحة أ ب ء = مساحة أ ب جـ
ء هـ متوسط فى أ ب ء == <مساحة أ هـ ء = مساحة أ ب ء
= × × مساحة أ ب جـ = مساحة أ ب جـ
فى الشكل المقابل
أ ء متوسط فى أ ب جـ
هـ أ ء إثبت أن
مـ أ ب هـ = مـ الشكل أ ب هـ جـ
المعطيات : مـ أ ب جـ = مـ ء ب جـ ، ب جـ قاعدة مشتركة لهما
المطلوب : أ ء // ب جـ
العمل : نرسم أ هـ ب جـ ، ء و ب جـ
البرهان: مـ أ ب جـ = مـ ء ب جـ
× ب جـ × أ هـ = ب جـ × ء و
أ هـ = ء و ===< أ هـ ، ء و عمودان على ب جـ
أ هـ // ء و الشكل أ هـ ء و مستطيل أ ء // ب جـ
فى الشكل المقابل مـ أ ب ص= مـ أ جـ س إثبت أن ء هـ // ب جـ
مـ أ ب ص = مـ أ جـ س
بطرح مـ أ س ص من الطرفين
مـ أ ب ص - مـ أ س ص = مـ أ جـ س – مـ أ س ص
مـ ب س ص = مـ جـ س ص [ وهما مرسومتان على قاعدة واحده ورأساهما على جهة واحدةمنها ]
س ص // ب جـ
فى الشكل المقابل مـ أ ب م = مـ ء م جـ إثبت أن أ ء // ب جـ
تذكر أن
: المعين هو متوازى أضلاع تكون أضلاعه متساوية فى الطول 0
خواصه
(1) كل ضلعين متقابلين متوازيين
(2) القطران متعامدان وينصف كلا منهما الاخر
(3) القطران ينصف كلا منهما زاويتا الراس الواصل بينهما
مساحة المعين = ب جـ × أ هـ = جـ ء × أ و
مساحة المعين = أ جـ × ب ء
1- معين طول ضلعه = 10سم وارتفاعه = 4سم أوجد مساحته
مساحته = طول ضلعه × أرتفاعه = 10 × 4 = 40 سم 2
2- معين طولا قطريه 10سم ، 6سم أوجد مساحته
مساحته = × 10 × 6 = 30 سم2
3-معين طول ضلعه = 8سم ومساحته = 48 سم2 أوجد أرتفاعه الحـــــــــــــــــــــل
مساحته = 48 = 8 × ارتفاعه = 48
طول ضلعه × ارتفاعه = 48 ارتفاعه = ــــــــ = 6سم
4- معين أرتفاعه = 5سم ومساحته = 60 سم2 أوجد طول ضلعه الحـــــــــــــــــــــل
مساحته = 60 طول ضلعه × 5 = 60
طول ضلعه × ارتفاعه = 60 طول ضلعه = ــــــــ = 12سم
1- مربع طول قطره 10 سم أوجد مساحته
مساحته = مربع طول قطره = (10)2 = × 100 = 50 سم2
2-مربع مساحته = 32 سم2 أوجد طول قطره
مساحته = 32 مربع طول قطره = 32
مربع طول قطره = 64طول قطره = 64 = 8 سم
شبه المنحرف :- هوشكل رباعى فيه ضلعين
متوازيين (هما قاعدتيه) ويسمى كل ضلع من الضلعين الغير متوازيين ( ساقا)
ففى الشكل المقابل أ ء ، ب جـ هما قاعدتا شبه المنحرف
أب ، ء جـ هما ساقيه
1- شبه منحرف طولا قاعدتيه المتوازيتين 5 سم ، 9سم ، أرتفاعه = 10سم أوجد مساحته
مساحة شبه المنحرف = مجموع القاعدتين المتوازيتين × الارتفاع
= × ( 9 + 5 ) × 10 = × 14 × 10 = 70سم2
2- شبه منحرف طولا قاعدتيه المتوازيتين 4سم ، 10سم مساحته = 35 سم2 أوجد أرتفاعه
مساحته = 35 7 ع = 35
( 4 +10 ) × ع = 35 ع = ــــــــ = 5سم
× 14 × ع = 35
القاعدة المتوسطة هى نصف مجموع القاعدتين المتوازيين
س ص تسمى القاعدة المتوسطة
س ص = ــــــــــــــــــــ
1- شبه منحرف طول قاعدته المتوسطة = 10 ارتفاعه =4سم
اوجد مساحته الحـــــــــــــــــــل
مساحته = القاعدة المتوسطة × الارتفاع = 10 × 4 = 40 سم2
2- شبه منحرف مساحته = 24 سم2 أرتفاعه = 3سم أوجد طول قاعدته المتوسطة الحـــــــــــل
مساحته = 24 = القاعدة المتوسطة × الارتفاع = 24
= القاعدة المتوسطة × 3 = 24 القاعدة المتوسطة = ــــــــ = 8سم
3- شبه منحرف مساحته = 20سم2 طول قاعدته المتوسطة =5سم أوجد أرتفاعه
مساحته = 20 القاعدة المتوسطة × الارتفاع = 20
5 × الارتفاع = 20 الارتفاع = ـــــــــ = 4سم
4- شبه منحرف مساحته = 30سم2.& أرتفاعه = 5سم& طول أحدى قاعدتيه المتوازيتين = 4سم أوجد طول القاعدة الاخرى الحـــــــــــــــــــــــــل
مساحته = 30 بفرض أن القاعدة الاخرى = س
القاعدة المتوسطة × الارتفاع = 30 ( س +4 ) = 6
القاعدة المتوسطة × 5 = 30 س + 4 = 12
القاعدة المتوسطة = ــــــ = 6سم س = 12 – 4 = 8 سم =
شبه منحرف ساقيه متساويان فى الطول
( أ ب = ء جـ ) وخائصه هى
(1) زاويتا القاعدة فى شبه المنحرف متطابق الساقين متطابقتان 0
(2) قطرا شبه المنحرف متطابق الساقين متطابقتان 0
فى الشكل المقابل أوجد مساحة شبه المنحرف أ ب جـ ء الحل
مساحته = ( 4 + 6 ) × 3 = × 10 × 3 = 5 × 3 = 15سم
الشكل محيطـــــــــــــــــــــــــه مساحتــــــــــــــــــــــــــــــــــه
المستطيل (الطول + العرض)×2 الطول × العرض
المربع طول ضلعه × 4 طول الضلع × نفسه
= نصف مربع طول قطره
المثلث مجموع أطوال أضلاعه نصف القاعدة × الارتفاع
متوازى الاضلاع 2(مجموع ضلعين متجاورين) طول القاعدة × الارتفاع
المعين طول ضلعه × 4 = طول ضلعه × ارتفاعه
= نصف حاصل ضرب قطريه
شبه المنحرف مجموع أطوال أضلاعه القاعدة المتوسطة × الارتفاع
الدائرة 2 ط نق ط نق2
اكمل ما يأتى
(1) مستطيل طوله = 5سم وعرضه = 3سم يكون محيطه = ....... سم
(2) مستطيل طوله = 5سم وعرضه = 3سم يكون مساحته = ....... سم2
(3) مربع طول ضلعه = 6سم يكون محيطه = .......... سم
(4) مربع طول ضلعه = 6سم يكون مساحته = .......... سم
(5) مربع مساحته = 64 سم2 يكون محيطه = ......... سم
(6) مربع مساحته = 25 سم2 يكون محيطه = ......... سم
(7) مربع محيطه = 12 سم2 يكون مساحته = ......... سم2
( 8 ) مربع طول ضلعه = 7 سم يكون محيطه = ........... سم
(9) ) مربع طول ضلعه = 10 سم يكون مساحته= ........... سم2
(10) مربع طول قطره = 10 سم تكون مساحته = ........... سم2
(11) مربع طول قطره 5 2 يكون مساحته = ......... سم2
(12 ) مربع مساحته = 18 سم2 يكون طول قطره = .......... سم
(13 ) ) مربع مساحته = 18 سم2 يكون طول ضلعه = .......... سم
(14 ) مربع طول قطره = 5 2 يكون طول ضلعه = ........ سم
(15 ) متوازى أضلاع طول قاعدته = 5سم وارتفاعه = 10 سم تكون
(16 ) متوازى اضلاع مساحته = 35 سم2 أرتفاعه = 7سم تكون طول
(17 ) متوازى أضلاع مساحته = 36 سم2 طول قاعدته = 9 سم يكون
(18 ) معين طولا قطريه 8 سم ، 12 سم تكون مساحته تساوى ...... سم2
(19 ) معين مساحته = 28 سم طول احد قطريه = 7سم فان طول قطره
(20 ) معين طول قاعدته = 5 سم وارتفاعه = 6 سم تكون مساحته
(21 ) معين مساحته = 60 سم طول قاعدته = 10 سم يكون أرتفاعه
(22) شبه منحرف طول قاعدته المتوسطة = 10سم أرتفاعه = 3سم
(23 ) شبه منحرف مساحته = 45 سم2 طول قاعدته المتوسطه = 9سم
(24 ) شبه منحرف مساحته = 28 سم2 ، ارتفاعه = 4 سم تكون قاعدته
(25 ) شبه منحرف طولا قاعدتيه المتوازيتين = 3 سم ، 7سم ، ارتفاعه
(26 ) شبه منحرف مساحته = 24 سم2 طولا قاعدتيه المتوازيتين 3 ، 1
(27 ) شبه منحرف طولا قاعدتيه المتوازيتين 7سم ، 13 سم تكون قاعدته
(28 ) شبه منحرف طول احدى قاعدتيه المتوازيتين 6 سم وطول قاعدته
المتوسطة = 10 سم تكون قاعدته الاخرى = ...... سم
(29) مربع محيطه = تساوى مساحته يكون طول ضلعه = ....... سم
هو موقع العمود المرسوم من هذه النقطة على هذا المستقيم . حالة خاصة
أ/ هى مسقط أ على المستقيم ل
إذا كان أ ل فان مسقطها هو نفسها
فى كل شكل من الاشكال السابقة أ/ ب/ هى مسقط ا ب
حالة خاصة
إذا كان أ ب ل فان مسقط أ ب على ل هو نقطة جـ
أكمل الجدول الاتى
المساقط
مسقط أ ب على ب جـ ........... ........... .........
مسقط أ جـ على ب جـ ............ ........... ..........
مسقط ب جـ على أ ب ............ ........... ..........
مسقط أ جـ على أ ب ............ ............ ..........
فى الشكل المقابل أكمل
(1) مسقط أ ب على ب جـ هو ............
(2) مسقط ب جـ على أ جـ هو ............
(3) مسقط أ جـ على أ جــ هو ............
(4) مسقط ب جـ على أ جـ هو .............
(5) مسقط أ ب على أ جـ هو ...............
(6) مسقط ب م على ب جـ هو ............
(7) مسقط جـ م على أ ب هو ...........
(
مسقط أ م على ب جـ هو ............(9) مسقط م ء على أ ب هو ................
(10) مسقط أ ب على أ هـ هو ..............
(11) مسقط أ جـ على ء جـ هو ..............
(12) مسقط أ هـ على ب جـ هو ............
(14) مسقط جـ ء على أ ب هو ..............
(15) مسقط ب و على أ جـ هو ...............
(16) مسقط ب م على أ جـ هو ..............
فى الشكل المقابل أ ء ء جـ ، ب ء = 6سم ق( أ ب جـ ) = 135 ْ أكمل
( أ ) مساحة أ ب جـ = .............
(ب) مسقط أ ب على ب جـ هو ..........
(جـ) طول مسقط أ جـ على ب جـ هو ..........
( ء ) مسقط ب جـ على أ ء هو ..............
( هـ ) طول مسقط أ ب على أ ء = ...............
فى الشكل المقابل أ ب جـ ء = { م }
أ جـ جـ ء ،ب ء جـ ء ., أ م = 6سم ، أ ب = 10سم
ق( أ م جـ ) = 60 ْ أكمل
(1) مسقط أ ب على جـ ء هو .......... وطوله = .......... سم
(2) طول مسقط أ جـ على جـ ء هو = ..........
(3) مسقط ب جـ على جـ ء هو .......... وطوله = .......... سم
فى كل شكل مما ياتى أوجد طول الضلع المجهول
( أ جـ)2 = ( أ ب )2 + ( ب جـ)2 = 9 + 16 =
= 25
أ جـ = 25 = 5 سم
( ب جـ)2 = ( أ جـ)2 – ( أ ب )2
= 100 – 36 = 64
ب جـ = 64 = 8 سم
( أ ب )2 = ( أ جـ )2 – ( ب جـ )2
= 169 – 25 = 144
أ ب = 144 = 12 سم
معين طولا قطريه 6 سم ، 8 سم أوجد محيطه
المعين قطراه متعامدان وينصف كلا منهما الاخر
فى أ ب م
( أ ب )2 = ( أ م )2 + ( ب م )2 = (3)2 + (4)2
= 9 + 16 = 25
أ ب = 25 = 5سم
محيط المعين = طول الضلع × 4 = 5 × 4 = 20 سم
أ ب جـ ء معين طول ضلعه = 10سم وطول قطره ب ء = 12سم
أوجد مساحته 0
====<<<المعين قطراه متعامدان
وينصف كلا منهما الاخر
ب ء = 12سم ب م = 6سم
أ ب م القائم الزاوية فى م
( أ م )2 = ( أ ب )2 – ( ب م )2 = 100 – 36 = 64
أ م = 64 = 8 سم أ جـ = 16 سم
مساحة المعين = حاصل ضرب قطريه = × 12 × 16 = 96 سم2
مستطيل مساحته 60 سم2 وطوله 12 سم أوجد طول قطره
مساحة سطح المستطيل = 60
الطول × العرض = 60
12 × العرض = 60
العرض = ــــــــ = 5 سم
أ ب جـ قائم الزاوية فى ب
( أ جـ)2 = ( أ ب )2 + ( ب جـ )2 = (12 )2 + ( 5 )2 = 144 + 25 = 169
أ جـ = 169 = 13 سم
فى الشكل المقابل
ق ( أ ) = ق ( أ جـ ء ) = 90
أوجد (أولا) طول جـ ء
(ثانيا) مساحة سطح الشكل أ ب جـ ء
أ ب جـ قائم الزاوية فى ب
( أ جـ )2 = ( أ ب )2 + ( ب جـ)2 = 16 + 9 = 25
أ جـ = 25 = 5 سم
أ جـ ء قائم الزاوية فى جـ
( جـ ء )2 = ( أ ء )2 – ( أ جـ )2 = 169 – 25 = 144
جـ ء = 144 = 12 سم
مساحة سطح الشكل أ ب جـ ء = مساحة أ ب جـ + مساحة أ جـ ء
= × 3 × 4 + × 12 × 5
= 6 + 30 = 36 سم2
أوجد طول الضلع المجهول فى كلا من المثلثات الاتية
***********************************************
2- أ ب جـ ء مستطيل فيه أ ب = 9سم ، أ جـ = 15 سم أحسب مساحة سطحه
3- أ ب جـ ء معين طولا قطريه = 24 سم ، 10 سم أوجد محيطه
4 - أ ب جـ ء معين محيطه = 40 سم طول أحد قطريه = 12 سم أوجد طول قطره الاخر ثم أوجد مساحته
مستطيل مساحته = 48 سم2 طوله = 8سم أوجد محيطه
فى الشكل المقابل * ق ( ء ) = 90 ، أ جـ = 13سم
ب جـ = 4سم ، جـ ء = 5 سم (1) أوجد طول أ ء ، أ ب
( 2 ) أوجد مساحة أ ب جـ
*********************************************
فى الشكل المقابل
أ ب جـ ء شكل رباعى فيه
ق( ب ) = ق ( ء ) = 90
أ ب = 7 سم ، أ ء = 15سم
، جـ ء = 20سم أوجد
(1) طول أ جـ ، ب جـ
(2) مساحة الشكل الرباعى أ ب جـ ء
***********************************************
فى الشكل المقابل
س ص ع ل شكل رباعى فيه
ق (ص) = ق ( س ع ل ) = 90
س ص = 9سم ، ص ع = 12سم
س ل = 25 أوجد
(1) طول ع ل (2) مساحة الشكل س ص ع ل
***********************************************
1- أ جـ ء مستطيل فيه أ ب = 8سم ، أ جـ = 17 سم أوجد مساحته
2- أ ب جـ ء شبه منحرف فيه أ ء // ب جـ ، أ ب = أ ء = جـ ء = 10 ، ب جـ = 22سم أوجد مساحته
3- أ ب جـ مثلث متساوى الساقين فيه أ ب = أ جـ = 13 سم ، ب جـ = 10سم أوجد مساحة سطحه 0
4- أ ب جـ ء معين طول ضلعه 25 سم ، طول أحد قطريه = 48 سم أوجد مساحة سطحه 0
لاثبات أن مثلث قائم الزاوية
نحدد أكبر الاضلاع طولا وليكن أ جـ
نوجد مربع طوله أى : ( أ جـ )2
ثم نوجد مجموع مربعى الضلعين الاخرين
( أ ب )2 + ( ب جـ )2 فاذا كان
( أ جـ )2 = ( أ ب )2 + ( ب جـ )2 كان المثلث قائم الزاوية فى ب
بين أيا من المثلثات الاتية قائم وايها غير قائمة
( 1 ) أ ب = 5 سم ، ب جـ = 7 سم ، أ جـ = 8 سم
( أ جـ )2 = ( 8 )2 = 64
( أ ب )2 + ( ب جـ )2 = (5)2 + ( 7 )2 = 25 + 49 = 74
( أ جـ )2 ≠ ( أ ب )2 + ( ب جـ )2 أ ب جـ غير قائم الزاوية
(2) س ص =17 ص ع = 15 س ع = 8
( س ص )2 = ( 17 )2 = 289
( س ع )2 + ( ص ع )2 = ( 8 )2 + (15)2 = 64 +225 = 289
( س ص )2 = ( س ع )2 + ( ص ع )2 [ س ص ع قائم الزاوية ]
فى الشكل المقابل
إثبت أن ق ( أ جـ ء ) = 90 واوجد مساحة الشكل أ ب جـ ء
أ ب جـ قائم الزاوية فى ب
(أ جـ)2 = ( أ ب )2 + ( ب جـ )2 = (9)2 + ( 12)2 = 81 +144 = 225
أ جـ = 225 = 15 سم
فى أ جـ ء ( أ ء )2 = ( 17 )2 = 289
( أ جـ )2 + ( جـ ء )2 = ( 15)2 + ( 8 )2 = 225 +64 = 289
( أ ء )2 = ( أ جـ )2 + ( جـ ء )2
أ جـ ء قائم الزاوية فى جـ ق ( أ جـ ء ) = 90
مساحة الشكل أ ب جـ ء = مساحة أ ب جـ + مساحة أ جـ ء
= × 12 × 9 + × 15 × 8 = 54 + 60 = 114
فى الشكل المقابل
برهن أن
ق ( ب ) =90
أ جـ ء قائم الزاوية فى جـ
(أ جـ)2 = ( أ ء )2 – ( ء جـ )2 = (17 )2 – ( 8 )2 = 289 – 64 = 225
أ جـ = 225 = 15 سم
فى أ ب جـ
( أ جـ )2 = 225
(أ ب)2 + ( ب جـ)2 = (12)2 + ( 9 )2= 144 + 81 = 225
( أ جـ)2 = ( أ ب )2 + ( ب جـ )2 ق ( ب ) = 90 ْ
1- بين أيا من المثلثات الاتية قائم الزاوية
(1) أ ب جـ فيه أ ب = 6سم ، ب جـ = 8سم ، أ جـ = 12سم
( 2) أ ب جـ فيه أ ب = 6سم ، ب جـ = 10سم ، أ جـ = 8 سم
(3) أ ب جـ فيه أ ب = 15سم ، ب جـ = 9 سم ، أ جـ = 12سم
(4) أ ب جـ فيه أ ب = 7سم ، ب جـ = 10سم ، أ جـ = 13سم
(5) أ ب جـ فيه أ ب = 16سم ، ب جـ = 12سم ، أ جـ = 20سم
***********************************************
2- فى الشكل المقابل
أ ب جـ ء شبه منحرف فيه
أ ء // ب جـ ، ق( أ ) = 90
أ ب = 6سم ، ب ء = 7.5سم
ب جـ = 12.5 أوجد
(1) أ ء ، ء جـ
(2) إثبت أن ق(ب ء جـ) = 90
***********************************************
3- فى الشكل المقابل
أوجد
(1) طول ب ء
(2) إثبت أن ق ( ب جـ ء ) = 90
(3) أوجد طول مسقط ب جـ على ب ء
4-فى الشكل المقابل
ق( ء ) = 90 ، ق ( أ جـ ء) = 30
أ ء = 3سم ، أ هـ ب جـ
أ ب = 8 سم ، ب جـ = 10سم
(1) أوجد طول أ جـ
(2) إثبت أن ق ( ب أ جـ) = 90
(3) أحسب طول مسقط أ ب على أ هـ
5- فى الشكل المقابل
ق ( أ ب جـ ) = 90 ، ب ء أ جـ
هـ ب ء حيث ا ء = 8سم
ء جـ = 4.5 ، أ هـ = 17سم
أوجد
(1) طول كلا من ء هـ ، ب ء ، أ ب
(2) طول مسقط ا هـ على ب هـ
(3) هل ق( ب أ جـ) = 90
6- فى الشكل المقابل
(1) أوجد طول ب ء
(2) إثبت أن ق ( ب جـ ء ) = 90
(3) أوجد طول مسقط ب ء على أ ء
7-)أ ب جـ ء مثلث فيه ب جـ = 25سم ، أ جـ = 15سم ، ء منتصف
أ ب ، هـ هى مسقط ء على ب جـ ، ء هـ = 6سم إثبت أن ق ( ب أ جـ ) = 90 ْ
7- أ ب جـ مثلث فيه أ ب = 7سم ، ب جـ = 24 سم ، ب ء متوسط فى
المثلث أ ب جـ فاذا كان ب ء = 12.5 سم ، إثبت ان ق ( أ ب جـ )
= 90 وأوجد طول أ جـ
8- فى الشكل المقابل
أ ب جـ ء شكل رباعى فيه
ق(ب) = 30 ، ق ( أ جـ ب) = 90
أ ء = 6سم ، جـ ء = 8سم
إثبت أن ق ( أ ء جـ ) = 90 ْ
9- أ ب جـ مثلث متساوى الساقين فيه أ ب = أ جـ ، أ ء ب جـ ،
هـ ب جـ ، هـ ب جـ بحيث كان أ ء = 12سم ، ب جـ =
18 سم ، أ هـ = 20 سم إثبت ان ق ( ب أ هـ ) = 90
10- أ ب جـ مثلث فيه أ ء ب جـ يقطعه فى ء ، أ ء = 6 سم ،
ب ء = 3سم ، جـ ء = 12 سم ، إثبت أن ق ( ب أ جـ ) = 90
11- فى الشكل المقابل
أ ب جـ فيه ب ء أ جـ
، أ ء = 18 سم ، ء جـ = 32 سم
ب ء = 24 سم أثبت أن
(1) ق ( أ ب جـ ) = 90 ْ
(2) ــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ
12- فى الشكل المقابل
( 1 ) إثبت أ ن أ جـ = 25
( 2 ) إثبت أن ق ( أ ء جـ ) = 90
(3) أوجد طول مسقط ء جـ على أ جـ
13- فى الشكل المقابل
أ ب جـ ء شبه منحرف فيه
أ ء // ب جـ ، ق ( أ ) = 90
أ ب = 12سم ، ب ء = 15سم ب جـ = 25 سم
(1) أوجد طول أ ء ، ء جـ
(2) اوجد طول مسقط ء جـ على ب جـ
(3) اوجد مساحة شبه المنحرف أ ب جـ ء
(4) برهن أن ق ( ب ء جـ ) = 90
فى الشكل المقابل
ق ( أ ) = 90 ْ ، أ ء ب جـ
فى الشكل المقابل
أ ب جـ مثلث قائم الزاوية فى أ
أ ء ب جـ ، أ ب = 6 سم
أ جـ = 8سم أحسب طول كلا من
ب ء ، ء جـ ، أ ء
فى أ ب جـ
( ب جـ )2 = ( أ ب)2 + ( أ جـ )2 = 36 + 64 = 100
ب جـ = 100 = 10 سم
( أ ب )2 = ب ء × ب جـ (6)2 = ب ء × 10
36 = 10 ب ء ب ء = ــــــــ = 3.6
( أ جـ )2 = جـ ء × ب جـ (8)2 = جـ ء × 10
64 = 10 جـ ء ب ء = ــــــــ = 6.4
أ ء × ب جـ = أ ب × أ جـ أ ء × 10 = 6 × 8
10 أ ء = 48 أ ء = ـــــــــ = 4.8
فى الشكل المقابل
أ ب جـ ء شكل رباعى فيه
ق( ب ) = ق ( ء ) = 90
ء هـ أ جـ ، أ ب = 7سم ب جـ = 24 سم ، ء جـ = 20سم
أوجد طول أ جـ ، أ ء ، ء هـ ، جـ هـ *
أ ب جـ قائم الزاوية فى ب
( أ جـ )2 = ( أ ب )2 + ( ب جـ )2 = 49 + 576 = 625
أ جـ = 625 = 25 سم
أ ء جـ قائم الزاوية فى ء ، ء هـ أ جـ
( أ ء )2 = ( أ جـ )2 – ( جـ ء )2 = ( 25)2 – (20)2= 625 – 400 =225 أ ء = 225 = 15 سم
أ ء × ء جـ = أ جـ × ء هـ ( جـ ء )2 = جـ هـ × جـ أ
15 × 20 = 25 × ء هـ (20)2 = جـ هـ × 25
ء هـ = ــــــــــــــــــــــ = 12سم جـ هـ = ـــــــــــ = 16 سم
فى الشكل المقابل
أوجد طول س ء
، س ص ، س ع
ق ( س ) = 90 ، س ء ص ع
( س ص )2 = ص ء × ص ع = 9 × 25 = 225
س ص = 225 = 25 سم
( س ع )2 = ع ء × ع ص = 16 × 25= 400
س ع = 400 = 20 سم
( س ء )2 = ص ء × ء ع = 9 × 16= 144 س ء = 144 = 12 سم
فى الشكل المقابل أوجد س ص
ق ( س ) = 90 س ء ص ع
( س ص )2 = ص ء × ص ع = 4 × 9 = 36
س ص = 36 = 6 سم
فى الشكل المقابل أوجد س ء
ق ( س ) = 90 س ء ص ع
( س ء )2 = ص ء × ء ع = 4 × 9 = 36
س ص = 36 = 6 سم
فى الشكل المقابل
أوجد طول ء ع
ق ( س ) = 90 ، س ء ص ع 64 = 4 ص ع
( س ص )2 = ص ء × ص ع ص ع = ــــــــ = 16 سم
( 8 )2 = 4 × ص ع ء ع = 16 – 4 = 12 سم
فى الشكل المقابل
إذا كان س ص = 12سم
، ص ع = 18 سم أوجد طول ص ء
ق ( س ) = 90 ، س ء ص ع 144 = 18 ص ء
( س ص )2 = ص ء × ص ع ص ع = ــــــــ = 8 سم
( 12 )2 = ص ء × 18
من الشكل السابق اكمل من الشكل السابق اكمل
(1) ( ل م )2 = ...... × ........ (1) ( ص ع)2 = ......... × .........
(2) ( ل م )2 = ....... - ......... (2) (ص ع)2 = .......... - ...........
(3) ( ل م )2 = ....... + ........ (3) (ص ع )2 = ........ + ..........
(4) ( ل هـ)2 = ....... × ........ (4) س ص × ص ع = ...... × .....
(5) ( ل هـ)2 = ( ل م)2 - ....... (5) ( ص ل)2 = ......... × ...........
(6) ل هـ = ـــــــــــ
